Разложение на множители многочленов

Как это разложить на множетели?
2х^2-ху-3у-7=0
BellProximus
Разложение на множители многочленов

Здравствуйте! Разложением многочлена на множители является тождественное преобразование, при котором многочлен представляется в виде произведения множителей, каждый из которых является делителем исходного многочлена. Данная задача является типичной математической операцией, которая востребована в различных разделах математики. Так нередко случается так, что выполнение этого преобразования не только упрощает решение уравнения, но и является одним из методов поиска пределов и нахождения интегралов.

Для выполнения этих действий применяются различные методы, возможность применения которых зависит от заданного многочлена. Так простейший метод разложения - вынесение общего множителя. Данный метод применим для многочленов вида
ax^n+bx^k+…….=0,
т.е. для тех выражений, в которых отсутствует свободный член. После данного преобразования получившиеся выражение будет иметь вид:
x^l(ax^(n-l)+bx^(k-l)+…..c=0),
где l – наименьшая степень переменной, встречающаяся в исходном выражении. В зависимости от условий задачи, выражение, содержащиеся в скобках может подвергнуться дальнейшим преобразованиям. В данном методе используется распределительный закон, справедливый для любого линейного пространтва.

Вторым, более сложным методом разложения, является применение формул сокращённого умножения. В этом случае в исходном многочлене необходимо «увидеть» выражение, используемое в формулах. Иногда данная задача является тривиальной (например, выражение x^4– 1 может быть легко преобразовано к виду x^4-1^2. После тривиальной замены может имеем (x^2-1)(x^2+1). В свою очередь первый множитель данного выражения может, аналогичным способом быть разложен на два сомножителя: (x^2-1)(x^2+1)= (x-1)(x+1) (x^2+1)). Однако часто случается так, что преобразования, необходимые для использования формул, далеко не тривиальны. Чаще всего в этом случае требуется выделение полного квадрата, которое помогает в большинстве случаев. Так, например выражение (x^2+2x -8)=0 может быть преобразовано к виду (x^2+2x-8)=x^2+2*x+1-9 (т.е. исходное выражение вида ax^2+bx+c=0 мы преобразовываем к виду x^2+2bx/a+b^2+d=0, где свободный член d подбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство). Затем, используя формулу можем записать x^2+2*x+1-9=(x+1)^2 -9=(x+1)^2-3^2=(x-2)(x+4)

Наиболее универсальным методом поиска сомножителей является способ неопределённых коэффициентов. При использовании данного способа применяются следующие теоремы:
• Основная теорема алгебры
• Многочлен 3 степени разлагается в произведение многочленов 1 и 2 степеней (ax^3+bx^2+cx+d=(x+k)(qx^2+wx+e))
• Многочлен 4 степени разлагается в произведение2 многочленов 2 степеней
Для нахождения коэффициентов в многочленах используют первую теорему, согласно которой, для многочлена третьей степени можно записать (после раскрытия скобок):
q=a
wp+kq=b
e+kw=c
ke=d,
где величины, стоящие в правой части выражений известны из условия задачи. Решив данную систему четырех уравнений (которая содержит четыре неизвестных), мы сможем разложить исходный многочлен на множители. Данный способ является универсальным, и может помочь тогда, когда другие методы не помогли.

Полезный совет?

эксперт, ответивший на вопрос

Илья Андреев
Любознательный

Комментарии

Еще нет комментариев.

оставить свой комментарий

* - скрыт от пользователей, только для уведомлений