Внешние и внутренние углы треугольника.

Внешние углы треугольника ABC пропорциональны числам 3,5,7. Найдите внутренние и внешние углы треугольника.
Кэт
Внешние и внутренние углы треугольника.

Здравствуйте!

Данная геометрическая задача рассчитана на применение свойств произвольного треугольника, проверку знаний теоремы о сумме внутренних углов треугольника, понятии внешнего угла треугольника и его свойств.

По условию задачи, внешние углы треугольника пропорциональны числам 3,5 и7.

Требуется найти внутренние и внешние углы треугольника.

Возьмем произвольный треугольник ∆АВС (см.рис.).

Обозначим внутренние углы треугольника α, β и γ, а смежные с ними внешние соответственно a,b,c

Введем неизвестную величину, равную x.Выразим через x внешние углы треугольника, исходя из условия задачи:

a = 3x,

b= 5x,

c= 7x

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

По теореме, сумма смежных углов равна 180◦.

Выразим внешние углы треугольника через смежные внутренние углы:

a = 180◦ - α

b =180◦ - β

c =180◦ - γ , получим

180◦ - α = 3x уравнение (1)

180◦ - β = 5x уравнение (2)

180◦ - γ = 7x уравнение (3)

По теореме, сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусов.

То есть

α + β + γ = 180◦ уравнение (4),

Решим систему 4х уравнений:

180◦ - α = 3x уравнение (1)

180◦ - β = 5x уравнение (2)

180◦ - γ = 7x уравнение (3)

α + β + γ = 180◦ уравнение (4)

Для этого выразим из уравнения (4) угол α:

α = 180◦ - β – γ уравнение (5)

Подставим уравнение ( 5) в уравнение (1),

180◦ - (180◦ - β – γ) = 3x (1)

Раскроем скобки, преобразуем

180◦ - 180◦ + β + γ = 3x => β + γ = 3x (1)

получим систему 3х уравнений:

β + γ = 3x (1)

180◦ - β = 5x (2)

180◦ - γ = 7x (3)

Выразим угол β из уравнения (2):

β = 180◦ - 5x

и преобразуем с учетом этого уравнение (1):

180◦ - 5x + γ = 3x (1) => 180◦ + γ = 3x + 5x => 180◦ + γ = 8 x

получим систему 2х уравнений с двумя неизвестными:

180◦ + γ = 8 x (1)

180◦ - γ = 7x (2)

Выразим угол γ из уравнения (2):

γ = 180◦ - 7x

Подставим полученное выражение для угла γ в уравнение (1):

180◦+ 180◦ - 7x = 8x

Приведем подобные:

360◦ = 15 х, отсюда:

Х =360◦ / 15 =24◦

Зная величину х, найдем углы треугольника.

Внешние углы треугольника :

a = 3x = 24◦ *3 = 72◦ ,

b = 5x = 24◦ *5 = 120◦ ,

c = 7x = 24◦ *7 =168◦

Найдем внутренние углы треугольника, зная, что сумма смежных углов равна 180◦:

α = 180◦ - a = 180◦ - 72◦ = 108◦

β = 180◦ - b = 180◦ - 120◦ = 60◦

γ = 180◦ - c = 180◦ - 168◦ = 12◦

Проверим себя:

108◦ + 60◦ + 12◦ = 180◦, что соответствует теореме о сумме углов треугольника.

Угол a = 72◦ - пропорционален (кратен) 3

Угол b = 120◦ - пропорционален (кратен) 5

Угол c = 168 - пропорционален (кратен) 7, что удовлетворяет условиям задачи.

Также, можно было решить данную задачу, применив теорему о внешних углах треугольника ( внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним). Однако, в таком варианте получается более громоздкая система уравнений.

Полезный совет?

эксперт, ответивший на вопрос

Borzenko
Профессор

Похожие статьи

Комментарии

Еще нет комментариев.

оставить свой комментарий

* - скрыт от пользователей, только для уведомлений