Здравствуйте!
Данная геометрическая задача рассчитана на применение свойств произвольного треугольника, проверку знаний теоремы о сумме внутренних углов треугольника, понятии внешнего угла треугольника и его свойств.
По условию задачи, внешние углы треугольника пропорциональны числам 3,5 и7.
Требуется найти внутренние и внешние углы треугольника.
Возьмем произвольный треугольник ∆АВС (см.рис.).
Обозначим внутренние углы треугольника α, β и γ, а смежные с ними внешние соответственно a,b,c
Введем неизвестную величину, равную x.Выразим через x внешние углы треугольника, исходя из условия задачи:
a = 3x,
b= 5x,
c= 7x
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
По теореме, сумма смежных углов равна 180◦.
Выразим внешние углы треугольника через смежные внутренние углы:
a = 180◦ - α
b =180◦ - β
c =180◦ - γ , получим
180◦ - α = 3x уравнение (1)
180◦ - β = 5x уравнение (2)
180◦ - γ = 7x уравнение (3)
По теореме, сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусов.
То есть
α + β + γ = 180◦ уравнение (4),
Решим систему 4х уравнений:
180◦ - α = 3x уравнение (1)
180◦ - β = 5x уравнение (2)
180◦ - γ = 7x уравнение (3)
α + β + γ = 180◦ уравнение (4)
Для этого выразим из уравнения (4) угол α:
α = 180◦ - β – γ уравнение (5)
Подставим уравнение ( 5) в уравнение (1),
180◦ - (180◦ - β – γ) = 3x (1)
Раскроем скобки, преобразуем
180◦ - 180◦ + β + γ = 3x => β + γ = 3x (1)
получим систему 3х уравнений:
β + γ = 3x (1)
180◦ - β = 5x (2)
180◦ - γ = 7x (3)
Выразим угол β из уравнения (2):
β = 180◦ - 5x
и преобразуем с учетом этого уравнение (1):
180◦ - 5x + γ = 3x (1) => 180◦ + γ = 3x + 5x => 180◦ + γ = 8 x
получим систему 2х уравнений с двумя неизвестными:
180◦ + γ = 8 x (1)
180◦ - γ = 7x (2)
Выразим угол γ из уравнения (2):
γ = 180◦ - 7x
Подставим полученное выражение для угла γ в уравнение (1):
180◦+ 180◦ - 7x = 8x
Приведем подобные:
360◦ = 15 х, отсюда:
Х =360◦ / 15 =24◦
Зная величину х, найдем углы треугольника.
Внешние углы треугольника :
a = 3x = 24◦ *3 = 72◦ ,
b = 5x = 24◦ *5 = 120◦ ,
c = 7x = 24◦ *7 =168◦
Найдем внутренние углы треугольника, зная, что сумма смежных углов равна 180◦:
α = 180◦ - a = 180◦ - 72◦ = 108◦
β = 180◦ - b = 180◦ - 120◦ = 60◦
γ = 180◦ - c = 180◦ - 168◦ = 12◦
Проверим себя:
108◦ + 60◦ + 12◦ = 180◦, что соответствует теореме о сумме углов треугольника.
Угол a = 72◦ - пропорционален (кратен) 3
Угол b = 120◦ - пропорционален (кратен) 5
Угол c = 168 - пропорционален (кратен) 7, что удовлетворяет условиям задачи.
Также, можно было решить данную задачу, применив теорему о внешних углах треугольника ( внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним). Однако, в таком варианте получается более громоздкая система уравнений.
Еще нет комментариев.